函数的单调性定义的延伸应用
函数的单调性定义的延伸应用
前言
函数的单调性有好多有用的结论，理解并灵活应用有助于我们的解题。
相关结论
- 结论1：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递增(或减)，则\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增(或减)；
证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递增，
则\(f(x_1)<f(x_2)\)，\(g(x_1)<g(x_2)\)，
\(F(x_1)-F(x_2)=f(x_1)+g(x_1)-[f(x_2)+g(x_2)]\)
\(=f(x_1)-f(x_2)+g(x_1)-g(x_2)<0\)，
即函数\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增；
同理可证，函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，则\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递减；
简单应用：比如\(y=x\)在\(R\)上单调递增，\(y=x^3\)在\(R\)上单调递增，
则\(y=x+x^3\)在\(R\)上就单调递增，这一性质就能帮助我们理解和掌握更多函数的性质。
- 结论2：已知函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，则\(F(x)=f(x)-g(x)\)在\(D\)上单调递增；
证明：仿上完成。
简单应用：比如\(y=x\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，\(y=\cfrac{1}{x}\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，
则函数\(y=x-\cfrac{1}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递增。
- 结论3：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递增，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)， 则\(H(x)=f(x)\cdot g(x)\)在\(D\)上单调递增；
证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递增，
则\(f(x_1)<f(x_2)\)，\(g(x_1)<g(x_2)\)，
即\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，\(g(x_1)-g(x_2)<0\)，
\(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_2)\cdot g(x_2)\)
\(=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_2)-[f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_2)]\)
\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)\cdot[f(x_2)-f(x_1)]\)，
\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]\)，
由于\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，\(g(x_1)-g(x_2)<0\)，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，
则上式\(f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]<0\)，
即\(H(x_1)-H(x_2)<0\)
即函数\(H(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增；
简单应用：函数\(f(x)=x\)，\(g(x)=e^x\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递增，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，
则\(H(x)=x\cdot e^x\)在\((0，+\infty)\)上单调递增；
- 结论4：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)， 则\(H(x)=f(x)\cdot g(x)\)在\(D\)上单调递减；
证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递减，
则\(f(x_1)>f(x_2)\)，\(g(x_1)>g(x_2)\)，
即\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，
\(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_2)\cdot g(x_2)\)
\(=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_2)-[f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_2)]\)
\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)\cdot[f(x_2)-f(x_1)]\)，
\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]\)，
由于\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，
则上式\(f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]>0\)，
即\(H(x_1)-H(x_2)>0\)
即函数\(H(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递减；
- 结论5：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，且\(f(x)<0\)，\(g(x)<0\)， 则\(H(x)=f(x)\cdot g(x)\)在\(D\)上单调递增；
证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递减，
则\(f(x_1)>f(x_2)\)，\(g(x_1)>g(x_2)\)，
即\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，
\(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_2)\cdot g(x_2)\)
\(=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_2)-[f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_2)]\)
\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)\cdot[f(x_2)-f(x_1)]\)，
\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]\)，
由于\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，且\(f(x)<0\)，\(g(x)<0\)，
则上式\(f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]<0\)，
即\(H(x_1)-H(x_2)<0\)，
即函数\(H(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增；
